I am sorry. と I feel sorry. って違うの?

はい、違います。

I'm sorry は「ごめんなさい」という謝罪の表現。
それに対し、
I feel sorry. は「気の毒」「かわいそう」という同情の表現です。


[EXAMPLE]

I am sorry that I broke your tea cup.
「あなたのティーカップを壊してしまってごめんなさい」

I feel sorry for Rose. Her favorite tea cup was broken.
「ローズが気の毒だわ。お気に入りのティーカップが壊れちゃって」

 
【追記】


I feel sorry. ですが、注意があります。

I fell sorry for 誰々. というと、「誰々が気の毒だ」という意味になるのですが、アメリカ人はこのように他人から同情や憐れみ(に聞こえる)を言われるのを嫌います。従って、面と向かった相手に言うのも、誰かについていうのも控えた方がよいでしょう。
代わりに使えるのが、
empathize with や feel for です。

I empathize with them.
私は彼らに共感します。

I know you are disappointed, and I feel for you.
あなたが落胆しているのが分かります。私も残念です。