chairman って言ったらいけないの?

「議長」「会長」という意味のchairman。
最近は、もっぱらchairperson が使われます。

職業名などは「〜man」というのが幾つもありますが、これらが改正されています。男女の区別をしない語になっているのです。

英語は、性差別と見られる可能性のある言葉や表現を使わない、というのが鉄則です。

ビジネスレターでは、初めての問い合わせなど、相手が分からない場合は、
書き出しを Gentlemen ではなく Dear Sir or Madam と書くのが無難です。