「〜で忙しい」は日記でもメールでもよく使われるフレーズです。
busy の使い方は2つ。
1.前置詞 with を使う方法 = busy with 〜
Ken is busy with his homework.
ケンは宿題に忙しい
She is busy with babysitting.
彼女は子守で忙しい
My husband is busy with his work.
夫は仕事で忙しい
2.動名詞を使う方法 = busy 〜ing
My son is busy practicing for the school concert.
息子は学園コンサートの練習で忙しい
I was busy preparing dinner for the guests last night.
私は昨晩来客の夕食準備で忙しかった
1と2はニュアンスが若干違います。
1は、何か(目的語になっている事項)でやることが多く、他のことをやる時間がない
2は、何か(目的語になっている事項)に多くの時間を割いている、「〜するのに忙しい」
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